Exercice 1
Question 1:
On parle de loi binomiale puisqu’il s’agit du nombre de succès (buts marqués de la tête) rencontrés au cours d’une répétition de k épreuves (but quelconque) indépendantes de Bernoulli (but soit marqué de la tête ou non) de probabilité de succès p. Et donc: \[ \boxed{P(L = \ell \| K = k ) = \binom{k}{l} p^k (1-p)^{l-k}} \]
Question 2:
D’après la formule des probabilités totales: \(P(L = \ell) = \sum_{k = \ell}^{\infty} P(L = \ell \mid K = k) \cdot P(K = k)\)
Il en découle après calcul que: \(\boxed{P(L = \ell) = \frac{(\lambda p)^l}{l!}e^{-\lambda p}}\)
Il s’agit donc d’une loi de Poisson de paramètre \(\lambda p\). Donc l’espérance est de: \[\boxed{\mathbb{E}(L) = \lambda p}\]
Question 3:
La probabilité \(q\) pour qu’aucun but ne soit marqué de la main est:
\(q=\sum_{k=0}^{\infty} (1-\epsilon)^k e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}\)
donc:
\(p=1-\sum_{k=0}^{\infty} (1-\epsilon)^k e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}\)
d’où : \(\boxed{p= 1- e^{-\epsilon\lambda}}\)
Exercice 2:
Question 1 :
\(1)\) Lorsque le rat choisi la porte 1 au départ cela revient à refaire l’expérience dès le debut après perdre une minute donc :
\(\boxed{E(T|N=1)=E(T)+1}\)
\(2)\) Lorsque le rat choisit la deuxieme porte, on arrive à deux cas : soit retourne au depart et donc recommence dès le debut après 2 minutes, soit sort et donc finit après 2 minutes, donc: \(\boxed{E(T|N=2)=1/2(E(T)+2)+2(1/2)}\)
\(3)\) on a \(E(T)\)\(=\)\(E(T|N=2)P(N=2)+E(T|N=1)P(N=1)\) donc d’après les réponses précédentes on
a : \(\boxed{E(T)=5}\)
Question 2:
\(1)\) La variable \(T\) représente le temps passé par le rat dans la labyrinthe. Donc l’évènement \((T=n)\) est l’évènement “le rat a passé \(n\) minutes dans le labyrinthe’. Autrement dit le rat est en \(s\) à la n-ième minute pour la première fois sachant qu’au début il était en \(d\). On a alors, pour \(n\ge 1\) :
\[ P(T=n) = P(X_{n} = s \cap X_{n-1} \neq s \mid X_{0} = d ) \] Or \((X_{n-1} \neq s)\) et \((X_{n-1} = s)\) forment un système complet d’évènements, donc :
\[ p_{ds}^n = P(X_{n} = s \mid X_{0} = d ) = P((X_{n} = s) \cap (X_{n-1} \neq s \cup X_{n-1} = s) \mid X_{0} = d ) \]
D’où \[ p_{ds}^n = P((X_{n} = s \cap X_{n-1} \neq s) \cup (X_{n} = s \cap X_{n-1} = s) \mid X_{0} = d ) \] Ainsi, \[ p_{ds}^n = P(X_{n} = s \cap X_{n-1} \neq s \mid X_{0} = d )+ P(X_{n} = s \cap X_{n-1} = s \mid X_{0} = d ) \]
Or \[ P(X_{n} = s \cap X_{n-1} = s \mid X_{0} = d ) = P(X_{n-1} = s \mid X_{0} = d ) \]
En effet, si le rat est sorti après \(n-1\) minutes alors il est forcément encore dehors au bout de \(n\) minutes.
donc :
\[ p_{ds}^n = P(T=n) + p_{ds}^{n-1} \]
Finalement :
\[ \boxed{P(T=n) = p_{ds}^n - p_{ds}^{n-1}} \]
\(2)\) \((X_{1} = d)\), \((X_{1} = i)\) et \((X_{1} = s)\) forment un système complet d’évènements.
D’après la formule des probabilités totales,
\[ p_{ds}^{n+1} = P(X_{n+1} = s \mid X_{0} = d \cap X_{1} = d)P(X_{1} = d \mid X_{0} = d) \] \[+ P(X_{n+1} = s \mid X_{0} = d \cap X_{1} = s)P(X_{1} = s \mid X_{0} = d) \] \[+ P(X_{n+1} = s \mid X_{0} = d \cap X_{1} = i)P(X_{1} = i \mid X_{0} = d) \]
Comme \(P(X_{n+1} = s \mid X_{0} = d \cap X_{1} = d) = P(X_{n} = s \mid X_{0} = d)\) et \(P(X_{1} = s \mid X_{0} = d)=0\) (car le rat ne peut pas sortir en seulement une minute), on a :
\[ p_{ds}^{n+1} = p_{ds}^{n}*\dfrac{1}{3} + P(X_{n+1} = s \mid X_{0} = d \cap X_{1} = i)*\dfrac{2}{3} \]
Or, en appliquant à nouveau le théorème des probabilités totales,
\[ P(X_{n+1} = s \mid X_{0} = d \cap X_{1} = i) = P(X_{n+1} = s \mid X_{0} = d \cap X_{1} = i \cap X_{2} = d )P(X_{2} = d \mid X_{0} = d \cap X_{1} = i) \] \[+ P(X_{n+1} = s \mid X_{0} = d \cap X_{1} = i \cap X_{2} = s )P(X_{2} = s \mid X_{0} = d \cap X_{1} = i) \]
Donc :
\[P(X_{n+1} = s \mid X_{0} = d \cap X_{1} = i) = P(X_{n-1} = s \mid X_{0} = d)*\dfrac{1}{2} + 1*\dfrac{1}{2}\]
Donc :
\[P(X_{n+1} = s \mid X_{0} = d \cap X_{1} = i) = \dfrac{1}{2}(p_{ds}^{n-1}+1) \]
On a alors, \[ p_{ds}^{n+1}= p_{ds}^{n}*\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3}* \dfrac{1}{2}(p_{ds}^{n-1}+1) \]
finalement, \[ \boxed{p_{ds}^{n+1}= \dfrac{1}{3}(p_{ds}^{n}+ p_{ds}^{n-1}+1)} \]
\(3)\) \(p_{ds}^{n}\) vérifie une relation d’ordre \(2\) d’après la question précédente.
Une solution particulière est \[p_{ds}^{particulière} = 1\] Pour trouver les solutions de l’équation homogène, on résout l’équation : \[x^2 - \dfrac{1}{3}x - \dfrac{1}{3} = 0\] On trouve \(x_1 = \dfrac{1+\sqrt{13}}{6}\) et \(x_2 = \dfrac{1-\sqrt{13}}{6}\)
Finalement, \[ \boxed{p_{ds}^{n} = A(\dfrac{1+\sqrt{13}}{6})^n + B(\dfrac{1-\sqrt{13}}{6})^n + 1}\]
On trouve \(A\) et \(B\) à l’aide des équations \[ p_{ds}^{0} = p_{ds}^{1} = 0\]