X suit une loi normale \(\rm N(0,
1)\) donc admet f comme densité avec f définie \(\forall x \in \mathbb{R}\quad par \quad f(x)=
\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{\frac{-x^2}{2}}\)
Soit \(t \in \mathbb{R}\) on a \(\phi(t) =
\mathbb{E}[\mathrm{e}^{tX}]\)
\(=\int_{\mathbb{R}}\mathrm{e}^{tx}f(x)dx\)
par le théorème de transfert
\(=\int_{\mathbb{R}}\mathrm{e}^{tx}\frac{1}{\sqrt{2
\pi}} \mathrm{e}^{\frac{-x^2}{2}}dx\)
\(=\int_{\mathbb{R}}
\frac{\mathrm{e}^{tx-\frac{x^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}}dx\)
\(=\int_{\mathbb{R}}
\frac{\mathrm{e}^{\frac{t^2}{2}-\frac{(x-t)^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}}dx\)
\(= \mathrm{e}^{\frac{t^2}{2}}
\int_{\mathbb{R}}\frac{\mathrm{e}^{-\frac{(x-t)^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}}dx\)
\(=
\mathrm{e}^{\frac{t^2}{2}}\int_{\mathbb{R}}\frac{\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}}dx\)
\(= \mathrm{e}^{\frac{t^2}{2}}\)
Soit \(t \in \mathbb{R}\), on a
:
\(\phi'(t) =
t\mathrm{e}^{\frac{t^2}{2}}\)
\(\phi''(t) =
\mathrm{e}^{\frac{t^2}{2}} +
t^2\mathrm{e}^{\frac{t^2}{2}}\)
De plus, on remarque que :
\(\phi'(t) =
\int_{\mathbb{R}}x\mathrm{e}^{tx}f(x)dx\)
\(\phi''(t) =
\int_{\mathbb{R}}x^2\mathrm{e}^{tx}f(x)dx\)
De là, on a \(\phi'(0) =
\mathbb{E}[{X}]\) et \(\phi''(0) = \mathbb{E}[X^2]\)
Ce résultat se généralise et on a \(\forall n
\in \mathbb{N^*}\), \(\phi^{(n)}(0) =
\mathbb{E}[X^n]\)
On a ainsi \(\phi'(0) = 0\) et
\(\phi''(0) = 1\)
\(Var[X] = \mathbb{E}[X^2] -
(\mathbb{E}[{X}])^2 = \phi''(0) - (\phi'(0))^2 =
1\)
Soit \(t \in \mathbb{R}\), on a
:
\[\phi(t)= \mathrm{e}^{\frac{t^2}{2}} =
\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{t^{2k}}{2^k k!}\] De là, on a:
\[\phi^{(4)}(t)= \mathrm{e}^{\frac{t^2}{2}} =
\sum_{k=4}^{+\infty}(2k)\times(2k-1)\times(2k-2)\times(2k-3)
\frac{t^{2k-4}}{2^k k!}\] donc \(\phi^{(4)}(0) =
\frac{(2\times2)\times(2\times2-1)(2\times2-2)(2\times2-3)0^{2\times2-4}}{2^2
2!} = 3\)
Donc \(\mathbb{E}[X^4] = \phi^{(4)}(0) = 3\)
La simulation R donne :
x <- rnorm(1000000)
mean(x^4)
[1] 3.020103
Calculer \(E[X]\) et \(Var[X]\)
Calcul de l’espérance en utilisant les espérances conditionnelles : \[E[X]=P(U<\frac{1}{3})E(V)+P(U\geq \frac{2}{3})E(1+V) \] \[E[X]=\frac{1}{3}\frac{1}{2}+\frac{1}{3}(1+\frac{1}{2})=\frac{2}{3} \] Calcul de la variance :
\[X²=1_{(U<\frac{1}{3})}V²+1_{(U\geq\frac{2}{3})}(1+V)² \] \[E[X²]=\frac{1}{3}\int_{0}^{1}v²dv+\frac{1}{3}E(1+2V+V²) \] \[E[X²]=\frac{1}{3}(2\frac{1}{3}+2)=\frac{2}{3}\frac{4}{3}= \frac{8}{9}\] \[Var[X]=E[X²]-E[X]²=\frac{8}{9}-\frac{4}{9}=\frac{4}{9}\]
\[F_X(t)=P(X\leq t)=\frac{1}{3}P(V\leq t)+\frac{1}{3}P(0 \leq t)+\frac{1}{3}P(V \leq t-1)\] \[t\leq 0,F_X(t)=0\] \[0\leq t<1, F_X(t)=\frac{1}{3}(t+1)\] \[1\leq t<2, F_X(t)=\frac{1}{3}(1+1+t-1)=\frac{1}{3}(t+1)\] \[t\geq 2, F_X(t)= 1\]
Question 1 :
\(F_{X}(x)=P(X≤x)=P(exp(U)≤x)\)
\(P(exp(U)≤x)=P(U≤ln(x))\) par croissance de la fonction logarithme
\(U\) suit une loi uniforme sur \([0,1]\) donc :
\(\forall x\in [1,e]\), \(F_{X}(x)=ln(x)\)
Pour \(x\in [1,e]\), \(F_{X}(x)=ln(x)\)
Pour \(x\geq e\), \(F_{X}(x)=1\)
Pour \(x≤1\) : \(f_{X}(x)=0\)
Pour \(x\in [1,e]\) : \(f_{X}(x)=\frac{1}{x}\)
Pour \(x\geq e\) : \(f_{X}(x)=0\)
Nb: cette fonction est bien la densité de X car elle est positive et d’intégrale 1 sur le domaine de X.
\(E(X)=\int_{1}^{e} x\times\frac{1}{x} dx\)
\(E(X)=\int_{1}^{e} 1 dx= e - 1\)
Pour calculer la variance de X, on calcule d’abord \(E(X^{2})\):
\(E(X^{2})=\int_{-\infty}^{+\infty} x^{2}f_{X}(x) dx\)
\(E(X^{2})=\int_{1}^{e} x dx=\frac{e^{2}-1}{2}\)
Or,
\(Var(X)=E(X^{2}) - E(X)^{2}\)
Donc,
\(Var(X)=\frac{e^{2}-1}{2} -(e-1)^{2}\)
\(Var(X)=\frac{-e^{2}+4e -3}{2}\)