Partie 1

Questions de cours

  • Soit \(X\) une variable aléatoire sur \((\Omega, A, P)\) et \(p \in ]0;1[.\) On dit que \(X\) suit une loi géométrique de paramètre \(p\) si :
    1. \(X(\Omega) = \mathbb{N}^*\)
    2. \(\forall k \in \mathbb{N}^*, P(X = k) = p \times (1 - p)^{k-1}\) On note \(X \sim G(p)\)
  • Soit \(X\) une variable aléatoire sur \((\Omega, A, P)\) et \((n, p) \in ]0;1[ \times \mathbb{N}.\) On dit que \(X\) suit une loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\) si :
    1. \(X(\Omega) = \mathbb{N}\)
    2. \(\forall k \in \mathbb{N}, P(X = k) = \binom{n}{k} \times p^{k} \times (1 - p)^{n - k}\) On note \(X \sim B(n,p)\)
  • Espérance d’une loi :
    1. Géométrique de paramètre p : \(\frac{1}{p}\)
    2. Binomiale de paramètre n et p : \(n \times p\)

Exercice 1

Question 1

  • Soit X la variable aléatoire égale au nombre d’essais nécessaires au rat pour sortir du labyrinthe. X est égale au rang du premier succès d’une suite infinie d’épreuves de Bernoulli mutuellement indépendantes et de paramètre \(\frac{1}{4}\), donc \(X \sim G(\frac{1}{4})\).
  • \(E(X) = 4\)

Question 2

  • \(\pi_{i} = P(X = i + 1 | X > i)\) représente la probabilité que la souris réussisse à sortir lors de sa i+1-ème tentative, en supposant qu’elle a échoué lors des essais précédents. À ce moment-là, la souris se souvient des i portes précédemment choisies et a donc seulement le choix parmi les 4 - i portes restantes pour trouver la bonne sortie. D’où \(\pi_{i} = \frac{1}{4 - i}\).

  • Soit i \(\in\) {0, 1, 2, 3}. \(\pi_{i} = P(X = i + 1 | X > i) = \frac{P((X = i + 1) \cap (X > i))}{P(X > i)}\)

    Or, \((X = i + 1) \cap (X > i) = (X = i + 1)\). Par conséquent, \(\pi_{i} = \frac{P(X = i + 1)}{P(X > i)}\).

    Soit \(P(X = i + 1) = \pi_{i} \times P(X > i)\) donc \(\forall i \in\) {1, 2, 3, 4}, \(P(X = i) = \pi_{i - 1} \times P(X > i - 1) = \frac{P(X > i - 1)}{4 - i + 1}\) Or l’événement (X > i - 1) signifie que la souris s’est trompée i - 1 fois.

    Donc \(P(X > i - 1) = \frac{(4 - i + 1)! \times 3!}{4! \times (3 - i + 1)!} = \frac{4 - i + 1}{4}\)

    D’où \(\forall i \in\) {1, 2, 3, 4}, \(P(X = i) = \frac{4 - i + 1}{(4 - i + 1) \times 4} = \frac{1}{4}\)

  • \(X \sim U(4)\) donc \(E(X) = \frac{5}{2}\)

Question 3

  • Le rat se souvient uniquement du résultat de la dernière expérience infructueuse. Pourtant, lors de la première essaie sa mémoire est vide. Ainsi, tous les issus sont équiprobables.

    Donc \(P(X=1)=\frac{1}{4}\).

  • Soit \(i \geq 1\), \(\rho_i=P(X>i+1|X>i)\) peut être interprété comme étant la probabilité que \(X\) soit différente de i+1 sachant que la ième expérience est infructueuse. En effet, sachant que \(X>i\) pour que \(X>i+1\) il suffit que \(X\neq i+1\).

    Ainsi, \(\rho_i=P(X>i+1|X>i)=\frac{2}{3}\).

  • Soit \(i \geq 2\). On a \((X=i)=(X>i-1)\setminus(X>i)\) et \((X>i)\subset(X>i-1)\).

    Donc \(P(X=i)=P(X>i-1)-P(X>i)\). De plus \(\rho_i=\frac{P(X>i+1)}{P(X>i)}\) car \((X>i+1)\subset(X>i)\).

    Donc par téléscopage \(\prod\limits_{k=1}^{i-1} \rho_k = \frac{P(X>i)}{P(X>1)} = \left(\frac{2}{3}\right)^{i-1}\) avec \(P(X>1) = \frac{3}{4}\) donc \(P(X>i) = \frac{3}{4} \times \left(\frac{2}{3}\right)^{i-1}\)

    D’où \(P(X=i) = \frac{1}{4} \times \left(\frac{2}{3}\right)^{i-2}\).

Question 4

  • Soit \(\Omega\) l’univers des issus possibles.
    • On a \(Z(\Omega) = \mathbb{N}^*\) car \(G(\Omega) = \mathbb{N}^*\) et \(Y(\Omega) = \{0, 1\}\). Donc \(Z(\Omega) = X(\Omega)\).
    • Soit \(i \in \mathbb{N}^*\). En utilisant la formule des probabilités totales : \(P(Z=i) = P(YG=i-1) = \frac{3}{4} \times P(G=i-1) + \frac{1}{4} \times P(i=1)\). Pour \(i=1\), \(P(Z=i) = \frac{1}{4} = P(X=1)\). Pour \(i \geq 2\), \(P(Z=i) = \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} \times \left(\frac{2}{3}\right)^{i-2} = \frac{1}{4} \times \left(\frac{2}{3}\right)^{i-2} = P(X=i)\).
  • \(E(X) = E(Z) = 1 + E(G)E(Y)\) par indépendance de Y et G. Donc \(E(X) = 1 + 3 \times \frac{3}{4} = \frac{13}{4}\)

Exercice 2

  • On note \(X\) la variable aléatoire dont la valeur est l’essai où la fusée décolle pour la première fois. On sait que la fusée décolle avec une probabilité un sur un million, chaque essai est indépendant, donc \(X\) suit une loi géométrique de paramètre \(p = 10^{-6}\).

  • L’événement “aucune fusée ne décolle durant les \(10^{6}\) premiers essais” se traduit par \((X>10^{6})\), donc : \(P(X> 10^{6}) = (1-p)^{\frac{1}{p}}\) car on a \(10^{6}\) échecs consécutifs.

  • Montrons que cette valeur est proche de \(\frac{1}{e}\), \(10^6\) étant un nombre élevé, on peut comparer notre valeur à sa limite si on fait tendre \(p\) vers 0 :

    \(\begin{align*} (1-\frac{1}{n})^{n} &\underset{n \rightarrow +\infty}{=} \exp(n \ln(1-\frac{1}{n})) \\ &\underset{n \rightarrow +\infty}{=} \exp\left(n\left(-\frac{1}{n} - \frac{1}{2n^{2}} + o\left(\frac{1}{n^{2}}\right)\right)\right) \quad \text{développement limité de } \ln \text{ à l'ordre } 2 \\ &\underset{n \rightarrow +\infty}{=} \exp\left(-1 - \frac{1}{2n} + o\left(\frac{1}{n}\right)\right) \\ &\underset{n \rightarrow +\infty}{\rightarrow} \frac{1}{e} \end{align*}\)

    \(P(X> 10^{6})\) est donc proche de \(\frac{1}{e}\).