Probabilité TD-3 partie 1

Exercice 1:

On veut calculer \(P(max(M,N) \leq m)\) :

\(P(max(M,N) \leq m)=P((M\leq m) \cap (N \leq m))\)

Or, les évènements sont indépendant donc on sait que la probabilité de l’intersection est égal au produit des probabilités.

\(P((M\leq m) \cap (N \leq m))=P(M\leq m).P(N \leq m)=\frac12.\frac{m}{n}\)

On veut calculer \(P(M+N\leq m)\) :

\(P(M+N\leq m)=P(\bigcup_{k=1}^{m-1}[(M=k) \cap (N \leq m-k)])\)

Les évènements M et N sont indépendants et les évènements sont 2 à 2 deux disjoints (sigma-additivité). On obtient donc :

\[P(\bigcup_{k=1}^m[(M=k) \cap (N \leq m-k)])=\sum_{k=1}^{m-1}P(M=k).P(N\leq m-k)=\sum_{k=1}^{m-1}\frac{1}{2m}.\frac{m-k}{n}=\frac{1}{2m}(\frac{(m-1)m}{n}-\frac{(m-1)m}{2n})=\frac{m-1}{4n}\]

Exercice 2:

Question 1

Soit \(n \geqslant 1\)
Posons \(E_n\) l’évenement : “Le chat est à l’exterieur le soir n”, donc \(\overline{E_n}\) est l’évenement : “Le chat est à l’interieur le soir n”.
On peut traduire “Lorsqu’il se trouve à l’intérieur, le chat d’Erwin sort avec la probabilité p” par \(\mathbb{P}(E_n |\overline{E_{n-1}})=p\)
et on peut traduire “Lorsqu’il se trouve dehors, il rentre avec la probabilité q” par \(\mathbb{P}(\overline{E_n} |E_{n-1})=q\), donc \(\mathbb{P}(E_n |E_{n-1})=1-q\)
Donc
\(\pi_n =\mathbb{P}(E_n)\)
\(\pi_n = \mathbb{P}(E_n |E_{n-1}).\mathbb{P}(E_{n-1})+\mathbb{P}(E_n |\overline{E_{n-1}}).\mathbb{P}(\overline{E_{n-1}})\) D’après la formule des probabilités totales
\(\pi_n =(1-q).\pi_{n-1} + p.(1-\pi_{n-1})\)

Donc \(\pi_n =\pi_{n-1} (1-q-p) + p\)

Question 2

On est en présence d’une suite arithmético-géométrique de premier terme \(\pi_0=0\) (car le soir 0 le chat est à l’interieur).

Le terme général de la suite est donc :

\(\pi_n =(1-q-p)^n.(0-\frac{p}{1-(1-q-p)})+\frac{p}{1-(1-q-p)}\) (terme général d’une suite arithmético-géométrique)
\(\pi_n =-(1-q-p)^n.\frac{p}{p+q}+\frac{p}{p+q}\)
\(\pi_n =\frac{p}{p+q}.(1-(1-q-p)^n)\)

On sait que \(0< p <1\) et \(0< q <1\). Donc \(-1< 1-p-q <1\).
Donc \(\lim_{n \to +\infty} (1-q-p)^n=0\)

On en déduit \(\lim_{n \to +\infty} \pi_n = \frac{p}{p+q}\)