Proba - TD4

Questions de cours

  • Définition d’une variable aléatoire étagée.

Soit \(\alpha_1, ..., \alpha_n\), pour \(n\) coefficients positifs et \(A_1, ..., A_n\) pour \(n\) événements.

On appelle variable étagée la variable \(X = \sum_{i=1}^n \alpha_i 1 \! \! 1_{A_i}\).

Par définition, \(E[X] = \sum_{i=1}^n \alpha_i P(A_i)\).

  • Variable aléatoire de carré intégrable

Variable aléatoire telle que l’espérance de \(X^2\) existe et est finie.

La variance d’une variable aléatoire de carré intégrable vaut \(V[X] = E[(X-E[X])^2]\)

Question 1

Cas général :

U est inclus dans les intervalles, 1, 2 et 9, donc N = 3.

Intersection vide

\[ N \in \{0,1\} \qquad \text{(Car soit} \ U \in \{\dfrac{k}{10}, k \in [ \! [ 0,10 ] \! ]\} \text{, soit }U \in I_k, k \in [ \! [ 1,10 ] \! ]) \\ \begin{align} P(N=1) &= P(\bigcup_{k=1}^{10} U \in I_k)\\ &= P\left(\bigcup_{k=0}^{9} U \in \left]\dfrac{k}{10}, \dfrac{k+1}{10}\right[\right)\\ &= \sum_{k=0}^{9}P\left(U \in \left]\dfrac{k}{10}, \dfrac{k+1}{10}\right[\right) \qquad \text{(Union disjointe)} \\ &= \sum_{k=0}^{9}\dfrac{1}{10} \\ &= 1 \\ \end{align} \]

\[ P(N=0) = 1 - P(N=1) = 0 \\ \]

\[ E[N] = 1 \\ V[N] = 0 \]

Intersection complète

\[ N \in \{0,10\} \\ \begin{align} &P(N=10) = P(U\in I_1) = \dfrac{1}{10} \qquad \text{(car} \ I_i = I_j \  \ \forall i,j \in[ \! [ 1,10] \!] ) \\ &P(N=0) = 1 - P(N=10) = \dfrac{9}{10} \\ \end{align} \] \[ E[N] = \sum_k k P(N=k) = 10 . P(N=10) = 10.\dfrac{1}{10} = 1 \\ V[N] = E[N^2] - E[N]^2 = \sum_k k^2 P(N=k) - 1 = 100.\dfrac{1}{10} -1 = 9 \]

Question 2

On a \(N=\)\(\sum_{k=1}^{10}\)\(\mathbf{1}_{U_k}\) avec \(U_k = U \in I_k\) car la variable N reçoit la valeur du nombre d’intervalle dans lequel se trouve U.

Or pour tout \(k \in {1,..,10}\), \(\mathbf{1}_{U_k}\) sont des variables aléatoires suivant une loi de Bernouilli \(\mathbf{1}_{U_k} \sim {\sf Bernoulli}(\frac{1}{10})\). Donc on en déduit que si N suit une loi binomiale, on aurait \(N \sim {\sf Binom}(10 ,\frac{1}{10})\)

Or d’après la question 1, dans le premier cas où l’intersection de chaque I est nulle, on a \(P(N=1)=1\). Or \(\binom{10}{1}\frac{1}{10}^1\frac{9}{10}^9 \neq 1\). On en déduit que N ne suit pas une loi binomiale.

On a \(E(N)=\sum_{k=1}^{10}1*P(U_k)=10*\frac{1}{10}=1\)

Question 3 :

\(\begin{aligned} \mathbb V(N) &= \mathbb V\left(\sum \limits_{k = 1}^{10}\mathbb{1}_{I_{k}}\right) \\ &= \sum \limits_{k = 1}^{10}\mathbb V(\mathbb{1}_{I_{k}} ) + 2 \sum \limits_{1 \le i < j \le10} cov(\mathbb{1}_{I_{i}}, \mathbb{1}_{I_{j}} ) \end{aligned} \\ Or \\ \mathbb E(\mathbb{1}_{I_{k}}) = \int \limits_{\omega \in \Omega} \mathbb{1}_{I_{k}}(x) dx = l_k \\\)
Avec \(l_k\) la longueur de l’intervalle \(I_k\)

De plus :
\(\mathbb V(\mathbb{1}_{I_{k}}) = \mathbb E(\mathbb{1}_{I_{k}}^2) - \mathbb E(\mathbb{1}_{I_{k}})^2 = l_k - l_k^2\)
Et,
\(cov(\mathbb{1}_{I_{i}},\mathbb{1}_{I_{j}}) = \mathbb E(\mathbb{1}_{I_{i}}\mathbb{1}_{I_{j}}) - \mathbb E(\mathbb{1}_{I_{i}}) \mathbb E(\mathbb{1}_{I_{j}}) = l_{I_i \cap I_j} - l_il_j\)
Car
\(\mathbb E(\mathbb{1}_{I_{i}}\mathbb{1}_{I_{j}}) = \int_{\omega \in \Omega} \mathbb{1}_{I_{i}}\mathbb{1}_{I_{j}} = \int_{I_i \cap I_j} 1dx = l_{I_i \cap I_j}\)
Ainsi :
\(\begin{aligned} \mathbb V(N) &= \sum \limits_{k = 0}^{10}\mathbb V(\mathbb{1}_{I_{k}}) + 2\sum \limits_{i < j}cov(\mathbb{1}_{I_{i}}, \mathbb{1}_{I_{j}}) \\ &= \sum \limits_{k = 10}^{10} (l_k - l_k^2) + 2 \sum \limits_{i <j}l_{I_i \cap I_j} - 2 \times \frac{10 \times 9}{2} \times l_k^2 \\ &= 2 \sum \limits_{i < j}longueur(I_i \cap I_j) \end{aligned}\) Ici dans le cas \(\forall k \in {1, ..., 10} \ l_k = \frac{1}{10}\)
De plus,
\(\forall (j,k) \in\) {1,…, 10}\(^2\)
\(\begin{aligned} longueur(I_j \cap I_k) &\le longueur(I_k) \\ &\le \frac{1}{10} \end{aligned}\) Ainsi
\(\begin{aligned}2\sum \limits_{j < k} longueur(I_j \cap I_k) &\le 2\sum \limits_{j < k}\frac{1}{10} \\ &\le 2\frac{10 \times (10 - 1)}{2} \times \frac{1}{10} \\ &\le 9 \end{aligned}\) Cette borne est optimale car dans le cas où \(\forall (j,k)\) tel que j < k \(I_j \cap I_k = I_k\) on a \(\mathbb V(N) = 2\sum \limits_{i < j}longueur(I_j \cap I_k) = 2\frac{10 \times (10 - 1)}{2} \times \frac{1}{10} = 9\)