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Exerice 1

Question 1

Montrons que \(P(L=l | K=k)\)=\(\binom{l}{k}p^l(1-p)^{k-l}\)

Sachant que \(K=k\) buts ont été marqués la probabilité pour que \(l\) buts donnés soient marqués par la tête est \(P(L=l)=p^l(1-p)^{k-l}\)

SAchant qu’i y a \(\binom{k}{l}\) combinaisons possibles de \(l\) buts parmis les k on a que:

\[ P(L=L|K=k)=\binom{k}{l}p^l(1-p) \] Question 2

\[\begin{aligned} P(L=l) &= \sum_{k=l}^{\infty} P(L=l|K=k)P(K=k)\\& =\sum_{k=l}^{\infty}\binom{k}{l}p^l(1-p)^{k-l}\frac{\lambda^kl^{-\lambda}}{k!} \\& =\sum_{k=l}^{\infty}\frac{k!}{l!(k-l!)}p^l(1-p)^{k-l}e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}\\& =\frac{{\lambda}^lp^le^{-\lambda}}{l!}\sum_{k=l}^{\infty}\frac{{\lambda}^{k-l}(1-p)^{k-l})}{(k-l)!}\\& =\frac{(p\lambda)^{l}}{l!}e^{-p\lambda} \end{aligned}\]

\(L \sim \text{Poisson}(p{\lambda})\) On en déduit donc que \(E[L]=p\lambda\)

La courbe en “gris clair” donne les valeyrs \(P(X=k)\), \(k\in [0,7]\)

Question 3

Soit \(Nm\) le nombre de but marqué de la main

\(Nm \sim \text{Poisson}({\lambda}\varepsilon)\)

\(P(Nm\geq1)=1-P(Nm=0)=1-e^{-{\varepsilon}{\varepsilon}}=(1-1+\varepsilon\lambda-\frac{(\varepsilon\lambda)^2}{2}+...)=\mathcal{O}(\varepsilon)\)

Exerice 1

Question 1

\(-->E(T/N=1)= 1 + E(T)\)

\(-->E(T/N=2)=1+\frac{1}{2}.1+\frac{1}{2}.(1+E(T)) = 2 +\frac{1}{2} . E(T)\)

\(-->E(T)= P(N=1).E(T/N=1)+P(N=2).E(T/N=2) = \frac{1}{3}.(1+E(T))+\frac{2}{3}.(2+\frac{1}{2}.E(T))\)

\(E(T)=\frac{5}{3}+ \frac{2}{3}.E(T)\) <=> \(E(T)=5\)

Question 2