TD n°10
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Rappeler la définition de l’espérance conditionnelle.
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Rappeler la formule de conditionnement pour des variables aléatoires de loi continue.
On considère une suite $(X_n)$ de variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur $(0,1)$. Soit $a$ un nombre tel que $0<a<1$. On définit la variable aléatoire $N(a)$ de sorte que $$ N(a) = \min\left\{ n \geq 1 ~|~ X_1 +\cdots + X_n > a \right\} $$
Soit $x \in (0,1)$.
- En discutant selon les valeurs $x > a$ ou $x \leq a$, donner une expression de l’espérance conditionnelle $\mathbb{E}[N(a)~|~X_1 = x]$ ne laissant plus apparaître le conditionnement.
- Déduire de la question précédente que, pour tout $a \in (0,1)$, nous avons $$ \mathbb{E}[N(a)] = 1 + \int_0^a \mathbb{E}[N(x)] dx $$
- Résoudre l’équation précédente pour trouver l’expression de $\mathbb{E}[N(a)]$.
On considère une suite $(U_n)_{n\geq 1}$ de variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur $(0,1)$, et on pose $U_0 = x,~x\in(0,1)$. On dit qu’il y a record au temps $m$ si la variable $U_m$ est plus grande que toutes les variables précédentes. On note $N_n$ le nombre de records au temps $n \geq 1$. On pose ensuite $$ \forall n \geq 1, \quad f_n(x) = \mathbb{E}[N_n] $$
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Calculer $f_1(x)$.
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Donner une formule reliant l’espérance conditionnelle $\mathbb{E}[N_{n+1}|U_1 = u]$ à la fonction $f_n(x)$.
- Montrer que $$ 1 - f_{n+1}(x) = x(1 - f_n(x)) - \int_x^1 f_n(u) du $$
On suppose que $f_n(x)$ est dérivable et on appelle $g_n(x)$ sa dérivée.
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Trouver l’équation satisfaite par $g_n(x)$ puis la résoudre.
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En déduire que $$ f_n (x) = h_n - \left(x + \frac{x^2}{2} + \dots + \frac{x^n}{n} \right) $$
où $h_n = \sum\limits_{i = 1}^n \frac{1}{i}$