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title: "Formulaire de réponse pour le test 1"
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**Prénom Nom Groupe**


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### Question 1

* Calculer la probabilité pour que le candidat réussisse l’examen.

#### Réponse :


* Déterminer l'espérance du nombre de candidats réussissant l'examen.

#### Réponse :


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### Question 2

* Calculer les probabilités P($N = i$), pour tout $i$ de 1 à 4.

#### Réponse :


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### Question 3

* Calculer la probabilité de l'événement $G$ sachant que le candidat change de porte. Calculer la probabilité de l'événement $G$ sachant que le candidat conserve son choix initial.

#### Réponse :


***
### Question 4

* Le candidat opte a priori pour une stratégie aléatoire. Il change de porte avec la probabilité $p = 1/3$. Puis il joue et gagne le jeu. Quelle est la probabilité que le candidat ait changé de porte ?

#### Réponse :


***
### Question 5

* Calculer la valeur médiane de la variable $X$.

#### Réponse :


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### Question 6

* Montrer que la loi de la variable $Z_n = \min\limits_{i = 1, \dots, n} X_i$ est caractérisée par

#### Réponse :


$$
  \forall t > 0 , \quad {\rm P} (Z_n > t) =  \exp(- n \mu t), \quad n \geq 1
$$ 
* Calculer la probabilité de l'événement $(Z_N > 1)$

#### Réponse :


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### Question 7

* Déterminer la loi de la variable $Z$. Donner son espérance.


#### Réponse :


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### Question 8

* Déterminer la loi de la variable $Y$. Donner son espérance.

#### Réponse :


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### Question 9

* Donner une relation simple liant ${\rm E}[XY]$ à l'espérance d'une fonction simple de $X$ et la valeur de cette espérance (une ligne).

#### Réponse :


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### Question 10

* Calculer la variance de la variable aléatoire $Z$. En déduire la covariance du couple $(X,Y)$ et retrouver le résultat précédent (une ligne).

#### Réponse :