Probabilités 1A Ensimag
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Test n°0


Le formulaire de réponse Formulaire-Test-0-Prenom-Nom.Rmd est à compléter et à déposer dans TEIDE.

La date de début de remise est le 25/09 8:00 et il se termine le 29/09 a 18:00.

Problème 1

Eva et Raph jouent aux dés (supposés équilibrés). Eva lance un dé à six faces alors que Raph lance un dé à sept faces. Eva et Raph lancent les dés en même temps. On note $N$ le rang d’apparition du premier 1 chez Eva ou chez Raph.

Question 1

  • Soit $N_E$ le rang d’apparition du premier 1 chez Eva. Déterminer la probabilité de l’événement $(N_E > k)$, pour tout $k \geq 1$. Quelle est la loi de $N_E$ ?

Question 2

  • Calculer la probabilité de l’événement $(N > k)$, pour tout $k \geq 1$. Quelle est la loi de $N$ ?

Question 3

  • Le premier 1 gagne la partie. Quelle est la probabilité pour que Eva gagne ?

Question 4

  • Quelle est la probabilité de match nul ?

Question 5

  • Calculer la probabilité que la partie a duré moins de 3 manches sachant qu’Eva a gagné.

Problème 2

On dit que $U$ est une variable aléatoire de loi uniforme sur l’intervalle $[0,1]$ si $$ \forall~0 \leq a \leq b \leq 1, \quad \mbox{P}(U \in [a,b[) = b-a . $$ Soit $U$ et $V$ deux variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur l’intervalle $[0,1]$. On définit la variable $W$ de la manière suivante. Si $U < 1/4$, $W$ est égale à $V$, sinon $W$ est égale à $\sqrt{V}$.

Question 1

  • Calculer la probabilité que la variable aléatoire $W$ soit inférieure ou égale à $1/3$.

Question 2

  • Calculer l’espérance de la variable aléatoire $W^2$.

Problème 3

Soit $X$ une variable aléatoire de loi uniforme sur $(0,1)$. Soit $Y$ une variable aléatoire dont la loi conditionnelle sachant $X = x$ est la loi uniforme sur $(0, x)$. On pose $Z = X + Y$.

Question 1

  • Calculer l’espérance de la variable aléatoire $Z$.