Fondamentaux

Sommaire:

En théorie des probabilités, l’ensemble des éventualités $\Omega$ est appelé l’ensemble fondamental. En général, on ne le décrit pas. Cet ensemble est muni d’une tribu ${\cal A}$ contenant sous-ensembles de $\Omega$ appelés événements.

Soit $(\Omega, {\cal A})$ un ensemble fondamental muni d’une tribu. On appelle mesure de probabilité une application, P, de ${\cal A}$ dans $[0,1]$ telle que

• ${\rm P}(\Omega) = 1$

• Pour toute suite $(A_i)$ d’événements mutuellement exclusifs ($A_i \cap A_j = \emptyset$, pour $i \neq j$)

$$ {\rm P}\left( \bigcup_{i \geq 1} A_i \right) = \sum_{i \geq 1} {\rm P}(A_i) $$

Soit une suite $(A_n)$ d’événements décroissants, tels que $A_n \subset A_{n-1}$ $\subset \dots$ $\subset A_1$. Nous avons

$$ {\rm P}\left( \bigcap_{n \geq 1} A_n \right) = \lim_{n \to \infty} {\rm P}(A_n) $$

Soit $B$ un événement de probabilité P$(B) > 0$. On note P$(A|B)$ la probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ $$ {\rm P}(A~|~B) = \frac{ {\rm P}(A \cap B) }{ {\rm P}(B) } $$

On dit que $A$ et $B$ sont indépendants si

$$ {\rm P}(A~|~B) = {\rm P}(A) $$

Soit $(B_i)$ une suite d’événements disjoints formant une partition de $\Omega$. Nous avons $$ {\rm P} (A) = \sum_{i \geq 1} {\rm P}( A | B_i)~{\rm P}(B_i) $$

On repète une épreuve jusqu’à ce qu’une condition $C$ soit réalisée. La probabilité d’observer $A$ à l’issue de l’épreuve finale est $$ {\rm P}_C (A)= P(A ~|~C) $$