TD n°6

• Rappeler la définition de la fonction de répartition d’une variable aléatoire réelle.

• Rappeler le théorème de transfert pour une loi continue.

• Rappeler la définition de la loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$.

Dans un jeu, on commence un tirage à pile ou face. Si on obtient pile, le gain, noté $X$, est une variable aléatoire $U$ de loi uniforme sur $(0,1)$, indépendante du tirage précédent. Sinon, le gain est $2U$. La probabilité d’obtenir pile est $p = 2/3$. Pour calibrer le prix du ticket, on souhaite calculer le gain moyen et le gain médian d’un joueur donné.

• Calculer la fonction de répartition de la variable aléatoire $X$.

• Justifier que la loi de $X$ admet une densité de probabilité et décrire cette densité (sans calcul).

• Calculer la valeur médiane de la variable $X$.

• Calculer l’espérance de la variable aléatoire $X$.

Soit $Y$ une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre $q = 1 - p$, indépendante de $U$.

• Montrer que $X$ peut se représenter de la manière suivante $$ X = (1 + Y)U $$

• En déduire la valeur de l’espérance de $X$.

• Vérifier les résultats par simulation d’un grand nombre, $n$, de joueurs.

n = 1000000
y <- rbinom(n, 1, p = 1/3)
x <- (1+y)*runif(n)
median(x)
mean(x)

Soit $U$ une variable aléatoire de loi uniforme sur l’intervalle $(0,1)$. L’objectif de cet exercice est de déterminer la fonction de répartition, la densité, l’espérance et la variance de la variable $X$ définie par $$ X = \sqrt{U} $$

• Calculer la fonction de répartition de $X$ et en déduire la densité de la loi.

• En utilisant la densité de $X$, calculer l’espérance de $X$.

• Vérifier le résultat à l’aide d’une simulation.

mean(sqrt(runif(1000000)))

• En utilisant la densité de la loi uniforme et le théorème de transfert, calculer l’espérance de $X$.

• En utilisant le fait que $X$ est une variable aléatoire positive, calculer l’espérance de $X$ d’une nouvelle manière.

• Déterminer la variance de $X$ sans calcul intégral.

• Vérifier le résultat à l’aide d’une simulation.

var(sqrt(runif(1000000)))

Soient $X_1, \dots, X_n$, $n$ variables aléatoires indépendantes de loi exponentielle de paramètre $\lambda>0$. L’objectif de cet exercice est de déterminer la loi et l’espérance de la variable aléatoire. $$ X = \min (X_1, \dots, X_n ) $$

• Calculer la probabilité que la variable aléatoire $X$ soit supérieure à $t$, pour tout $t$ réel positif.

• En déduire la fonction de répartition, puis la densité de la loi de $X$. Reconnaître cette loi.

• En déduire l’espérance de la variable aléatoire $X$.

Soient $U_1, U_2, \dots, U_N$ des variables aléatoires réelles indépendantes de loi uniforme sur $(0,1)$ et $N$ une variable aléatoire de loi géométrique de paramàtre $p$ indépendante de la suite $(U_i)$. On pose $$ X = \max_{1\leq i \leq N} U_i $$

• Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire $X$.

• Calculer l’espérance de $X$.

• Vérifier le résultat par une simulation pour $p = 1/3$.

n <- 100000
# La loi géometrique est décalée
x <- sapply(1 + rgeom(n, p = 1/3), FUN = function(i) max(runif(i))) # ?sapply : très utile
mean(x)