TD n°1 - partie 2
script R: td_1_2.R
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Soit deux événements $A$ et $B$ de probabilité non-nulle. Rappeler la définition de la probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$.
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Enoncer la formule des probabilités totales et les conditions sous lesquelles elle s’applique.
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Soit $A$ un événement. On répète une épreuve jusqu’à ce que la condition $C$ de probabilité non-nulle soit réalisée. Quelle est la probabilité de l’événement $A$ à l’issue de cette expérience ?
La fonction sample permet
de tirer des nombres au hasard (avec ou sans remise), dans un ensemble fini.
Par exemple, pour simuler $n$ lancers d’un dé à 6 faces, on pourra définir la fonction suivante
de6 <- function(n) sample(1:6, n, replace = T)
Deux lancers pourront donner le résultat suivant
de6(2)
On considère la variable $X$ définie par le programme suivant
n = 1
x <- sample(1:de6(1), 1, replace = T)
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Calculer la probabilité ${\rm P}(X = 6)$.
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Calculer la probabilité ${\rm P}(X = 1)$.
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Vérifier que le résultat de l’expérience précédente est proche de vos prédictions.
for (i in 1:99999) x <- c(x,sample(1:de6(1), 1, replace = T))
mean(x == 1)
Dans le championnat de basketball de l’Uhgduzstan, il y a un tir sur trois à un point, un tir sur deux à deux points et un tir sur six à 3 points. Vlad Rabovitch est le meilleur joueur du pays. Lorsqu’il marque, sa probabilité de réussite à un point est de $1/2$, à deux points de $1/3$, à trois points de $1/4$.
- Quelle est la probabilité que Vlad marque lors d’un tir ?
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Vlad vient de rater un tir. Quelle est la probabilité qu’il ait tiré à trois points ?
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Vlad vient de réussir un tir. Quelle est la probabilité qu’il ait tiré à trois points ?
- Combien de tirs réussis doit-on attendre en moyenne avant de voir Vlad marquer à trois points ?
Soient $n$ un entier non-nul et $(p_i)_{i=1,\dots, n}$ $n$ nombres positifs dont la somme totale est égale à 1.
- A partir d’un unique appel de la fonction
runif, écrire un algorithme qui retourne l’entier $i$ avec probabilité $p_i$.
- Montrer que l’algorithme proposé est correct et évaluer le nombre moyen d’opérations effectuées.