TD n°1 - partie 2

script R: td_1_2.R

• Soit deux événements $A$ et $B$ de probabilité non-nulle. Rappeler la définition de la probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$.

• Enoncer la formule des probabilités totales et les conditions sous lesquelles elle s’applique.

• Soit $A$ un événement. On répète une épreuve jusqu’à ce que la condition $C$ de probabilité non-nulle soit réalisée. Quelle est la probabilité de l’événement $A$ à l’issue de cette expérience ?

La fonction sample permet de tirer des nombres au hasard (avec ou sans remise), dans un ensemble fini. Par exemple, pour simuler $n$ lancers d’un dé à 6 faces, on pourra définir la fonction suivante

de6 <- function(n) sample(1:6, n, replace = T)

Deux lancers pourront donner le résultat suivant

de6(2)

On considère la variable $X$ définie par le programme suivant

n = 1
x <- sample(1:de6(1), 1, replace = T)

• Calculer la probabilité ${\rm P}(X = 6)$.

• Calculer la probabilité ${\rm P}(X = 1)$.

• Vérifier que le résultat de l’expérience précédente est proche de vos prédictions.

for (i in 1:99999) x <- c(x,sample(1:de6(1), 1, replace = T))
mean(x == 1)

Dans le championnat de basketball de l’Uhgduzstan, il y a un tir sur trois à un point, un tir sur deux à deux points et un tir sur six à 3 points. Vlad Rabovitch est le meilleur joueur du pays. Lorsqu’il marque, sa probabilité de réussite à un point est de $1/2$, à deux points de $1/3$, à trois points de $1/4$.

• Quelle est la probabilité que Vlad marque lors d’un tir ?

• Vlad vient de rater un tir. Quelle est la probabilité qu’il ait tiré à trois points ?

• Vlad vient de réussir un tir. Quelle est la probabilité qu’il ait tiré à trois points ?

• Combien de tirs réussis doit-on attendre en moyenne avant de voir Vlad marquer à trois points ?

Soient $n$ un entier non-nul et $(p_i)_{i=1,\dots, n}$ $n$ nombres positifs dont la somme totale est égale à 1.

• A partir d’un unique appel de la fonction runif, écrire un algorithme qui retourne l’entier $i$ avec probabilité $p_i$.

• Montrer que l’algorithme proposé est correct et évaluer le nombre moyen d’opérations effectuées.