La méthode de Monte-Carlo

Sommaire:

La méthode de Monte-Carlo permet de calculer des probabilités ou des intégrales complexes en les reformulant comme l’espérance d’une variable aléatoire. En pratique la méthode approche l’espérance cible à l’aide de la moyenne empirique de variables simulées. Elle se généralise en dimension supérieure à 1.

Soient $X_1, X_2,\dots,X_n$ des variables aléatoires réelles indépendantes et de même loi ayant pour densité $f$. Soit $\varphi$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ telle que $\varphi(X_1)$ est de carré intégrable (noter qu’alors $\varphi(X_1)$ est a fortiori intégrable et l’intégrale $I$ ci-dessous est bien définie).

• Nous avons $$ \frac1n \sum_{i=1}^n \varphi(X_i) \xrightarrow[n\to\infty]{} I = \int \varphi(x) f(x) dx $$

Soient $X_1, X_2,\dots,X_n$ des variables aléatoires réelles indépendantes et de même loi ayant pour densité $g$. Soit $\varphi$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ telle que $\varphi(X_1)\frac{f(X_1)}{g(X_1)}$ est de carré intégrable.

• Nous avons $$ \frac1n \sum_{i=1}^n \varphi(X_i) \frac{ f(X_i) }{ g(X_i) } \xrightarrow[n\to\infty]{} I = \int \varphi(x) f(x) dx $$