TD n°1 - partie 1

script R: td_1_1.R

• Rappeler la définition d’une mesure de probabilité.

• Rappeler la définition d’une suite croissante d’événements.

• Soit $(A_n)$ une telle suite. Que peut-on dire de la suite des probabilités ${\rm P}(A_n)$ ?

Soit $X$ un nombre positif mesuré à l’issue d’une épreuve aléatoire. On suppose que $$ \forall ~ 0 \leq s \leq t < \infty, \quad \mbox{P} ( X \in [s,t)) = \int_s^t e^{-x} dx. $$

• Pour tout $t \geq 0$, montrer que ${\rm P}(X \geq t) =e^{- t}$.

• Calculer ${\rm P}(\sin X \geq 0)$.

Soit $U$ un nombre pris au hasard dans $[0,1]$ tel que $$ \forall 0 \leq a \leq b \leq 1, \quad \mbox{P}( U \in [a,b)) = b - a . $$

• Pour tout $0 \leq s \leq t < \infty$, calculer la probabilité ${\rm P}(\ln(1/U) \in [s,t))$.

• En déduire une manière d’obtenir un nombre au hasard ayant les mêmes propriétés que $X$.

Le langage R dispose de nombreux générateurs aléatoires, dont un générateur de variables aléatoires uniformément réparties sur $(0,1)$.

• En utilisant le générateur aléatoire de loi uniforme runif, effectuer $n = 1000000$ simulations de la variable $X$.

n = 1000000
x <- -log(runif(n))

• Calculer la fréquence de l’événement $X > 1$ et comparer cette valeur empirique à la valeur théorique calculée dans la question 1. Idem pour la probabilité de l’événement $(\sin(X)>0)$.

mean(x > 1)
exp(-1)
mean(sin(x) > 0)