Probabilités 1A Ensimag
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TD n°2 - partie 2


Exercice 1

Un jeu nécessite le lancer d’un dé équilibré à 19 faces. Pour jouer à ce jeu, on dispose uniquement d’un dé à six faces que l’on peut lancer un nombre arbitraire de fois. On définit le coût du jeu comme le nombre moyen de lancers du dé à six faces permettant d’obtenir une réalisation de loi uniforme sur l’ensemble {1,,19}.

Théorème de la division euclidienne pour les entiers naturels:
Soit a et b deux entiers naturels tels que b est non nul. Il existe un unique couple d’entiers naturels (q,r) satisfaisant a=bq+r et r<b.

Question 1

Soit x un entier compris entre 1 et 36. Montrer qu’il existe un unique couple (q,r){1,,6}2 satisfaisant x=6(q1)+r Indication: Diviser (x1) par 6.

Question 2

On note N1 et N2 les résultats obtenus suivant deux lancers indépendants du dé à 6 faces.

  • Montrer que la variable X=6(N11)+N2 suit la loi uniforme sur l’ensemble {1,,36}.

  • Proposer une procédure de rejet permettant de simuler le lancer d’un dé à 19 faces à partir du résultat précédent. Déterminer le coût du jeu.

de.6 <- function(n) sample(1:6, n, replace = T)
de.36 <- function(n) 6*(de.6(n)-1) + de.6(n)
de.19 <- function(n){
  d <- NULL
  for (i in 1:n){
    while ((x <- de.36(1)) > 19){}
    d <- c(x, d)
  }
  return(d)
}
n = 100000
# Temps de calcul
system.time(x.19 <- de.19(n))
# Histogramme des résultats
plot(table(x.19))

Question 3

  • Proposer des fonctions permettant de simuler le lancer de dés à 4, 5, 10 ou 20 faces à partir du dé à six faces. Déterminer le nombre moyen de lancers du dé à six faces dans chacune de ces procédures.

  • Proposer une procédure de rejet permettant de simuler le lancer d’un dé à 19 faces à partir d’un dé à 20 faces. Quel est le coût du jeu dans la procédure proposée ?

  • Peut on trouver une procédure de coût moindre ?