Exercices bonus (pour aller plus loin)

Ces énoncés sont facultatifs.
N’y consacrez du temps que si vous remplissez les conditions suivantes:

• Vous maîtrisez le programme de proba sur le bout des doigts.
• Vous êtes en avance dans vos révisions de partiels.
• La météo est mauvaise ou alors vous avez déjà pris l’air aujourd’hui.
• Vous souhaitez approfondir les notions abordées en cours.

Vous pouvez partager vos solutions avec votre encadrant de TD.
Bonne chance !

On rappelle que l’intégrale de Dirichlet est convergente et a pour valeur $\frac{\pi}{2}$: $$ \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t} dt = \frac{\pi}{2} $$

À l’aide d’un changement de variable et d’une intégration par parties, montrez que, $$ \forall a\in\mathbb{R},\quad \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1 - \cos(at)}{t^2} dt = |a|\pi $$

Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires réelles d’espérance finie $(\mathbb{E}\left[X\right] = \mathbb{E}\left[Y\right] < +\infty)$, indépendantes et de même loi.

Montrez, grâce au résultat de la question précédente, que $$ \mathbb{E}\left[|X - Y|\right] \leq \mathbb{E}\left[|X + Y|\right] $$

Indication: Substituez $a$ avec $X\pm Y$ dans le résultat précédent et prendre l’espérance de chaque côté.

Condition nécessaire et suffisante pour l’égalité.

La fonction caractéristique d’une variable aléatoire réelle $X$ est la fonction à valeurs complexes définie sur $\mathbb{R}$ par \begin{aligned} \varphi_X \colon \quad \mathbb{R} &\to \mathbb{C} \\ t &\mapsto \mathbb{E}\left[e^{itX}\right] \end{aligned}

Une loi de probabilité est entièrement caractérisée par sa fonction caractéristique.
Autrement dit, connaître la fonction caractéristique d’une variable aléatoire revient à connaître sa distribution.

1. Montrer que la fonction $\varphi_X$ possède une symmétrie hermitienne, i.e. que, $$ \forall t \in \mathbb{R},\quad \varphi_X(-t) = \overline{\varphi_X(t)} $$ où $\overline{z}$ désigne le conjugué du nombre complexe $z$.
2. En déduire une propriété de symétrie sur la variable aléatoire $X$ dans le cas où $\varphi_X$ est réelle.
3. Conclure en déduisant une condition nécessaire et suffisante pour que l’inégalité de la question 2 soit une égalité.