Test n°2
Formulaire de réponse : Formulaire-Test-2-Prenom-Nom.Rmd
La date de début de remise est le 11/12 8:00 et il se termine le 15/12 a 18:00.
Soient $X_1 , \dots , X_n$ $n$ variables aléatoires indépendantes et de même loi, de fonction de répartition continue sur $\mathbb{R}$. Pour tout $1\leq m \leq n$, on dit qu’un record est battu à l’épreuve $m$ si $m = 1$ ou si
$$ X_m > \max_{i < m} X_i $$
- Calculer la probabilité de battre un record à l’épreuve $m$
Soit $N$ le nombre de records battus après $n$ épreuves.
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Écrire la variable aléatoire $N$ comme une variable étagée.
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Donner l’espérance de $N$ pour $n$ quelconque.
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Donner l’espérance de $N$ pour $n = 27$.
Soit $n \geq 2$ et $(U_i)_ {i=1,\dots, n}$, une suite finie de variables indépendantes de loi uniforme sur $(0,1)$. Pour tout $i = 1, \dots, n - 1$, on pose $$ X_i = \begin{cases} 1 & \text{si }U_i < U_{i+1} \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} $$ et on définit le nombre de pas croissants dans la suite $(U_i)$ par la formule suivante $$ Y_n = \sum_{i = 1}^{n-1} X_i. $$
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Démontrer que ${\rm P}(U_1 < U_2) = 1/2$ et que ${\rm P}(U_1 < U_2 < U_3) = 1/6$.
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Calculer $\mathbb{E}[Y_n]$.
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Calculer $\text{Var}[X_1]$ et $\text{Cov}[X_1, X_2]$.
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Calculer la valeur de la variance $\text{Var}[Y_3]$.
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Pour tout $n \geq 2$, montrer que $$ \text{Var}[Y_n] = \sum_{i = 1}^{n-1} \text{Var}[X_i] + 2 \sum_{i = 1}^{n-2} \text{Cov}[X_i, X_{i+1}]. $$
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Calculer $\text{Var}[Y_n]$ pour tout $n \geq 2$.
Dans la suite finie $(U_i)_{i=1,\dots,n}$, on note
$$ A_{n-1} = \frac{Y_n }{ n-1} $$
le nombre moyen d’accroissements.
- Combien de tirages suffisent pour qu’avec une probabilité supérieure à 0.99, $A_{n-1}$ soit proche de la valeur $1/2$ à $10^{-2}$ près.
On considère un couple $(X,Y)$ de variables aléatoires de densité jointe
$$ \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, \quad f(x,y) = c xy^2 \mathbb{1}_D (x,y), $$
où $c$ est une constante positive et $D = \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2~|~0 < x < y < 1 \right\}$.
- Déterminer la valeur de $c$.
- Déterminer la fonction de répartition de la variable $Y$. Donner sa valeur au point $t = 2/3$.
- Écrire un algorithme de simulation d’un couple de densité $f(x,y)$.
- On pose $Z = X Y$. Déterminer la densité de la loi de la variable $Z$.