Test n°2

Formulaire de réponse : Formulaire-Test-2-Prenom-Nom.Rmd

Soient $X_1 , \dots , X_n$ $n$ variables aléatoires indépendantes et de même loi, de fonction de répartition continue sur $\mathbb{R}$. Pour tout $1\leq m \leq n$, on dit qu’un record est battu à l’épreuve $m$ si $m = 1$ ou si

$$ X_m > \max_{i < m} X_i $$

• Calculer la probabilité de battre un record à l’épreuve $m$

Soit $N$ le nombre de records battus après $n$ épreuves.

• Écrire la variable aléatoire $N$ comme une variable étagée.

• Donner l’espérance de $N$ pour $n$ quelconque.

• Donner l’espérance de $N$ pour $n = 27$.

Soit $n \geq 2$ et $(U_i)_ {i=1,\dots, n}$, une suite finie de variables indépendantes de loi uniforme sur $(0,1)$. Pour tout $i = 1, \dots, n - 1$, on pose $$ X_i = \begin{cases} 1 & \text{si }U_i < U_{i+1} \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} $$ et on définit le nombre de pas croissants dans la suite $(U_i)$ par la formule suivante $$ Y_n = \sum_{i = 1}^{n-1} X_i. $$

• Démontrer que ${\rm P}(U_1 < U_2) = 1/2$ et que ${\rm P}(U_1 < U_2 < U_3) = 1/6$.

• Calculer $\mathbb{E}[Y_n]$.

• Calculer $\text{Var}[X_1]$ et $\text{Cov}[X_1, X_2]$.

• Calculer la valeur de la variance $\text{Var}[Y_3]$.

• Pour tout $n \geq 2$, montrer que $$ \text{Var}[Y_n] = \sum_{i = 1}^{n-1} \text{Var}[X_i] + 2 \sum_{i = 1}^{n-2} \text{Cov}[X_i, X_{i+1}]. $$

• Calculer $\text{Var}[Y_n]$ pour tout $n \geq 2$.

Dans la suite finie $(U_i)_{i=1,\dots,n}$, on note

$$ A_{n-1} = \frac{Y_n }{ n-1} $$

le nombre moyen d’accroissements.

• Combien de tirages suffisent pour qu’avec une probabilité supérieure à 0.99, $A_{n-1}$ soit proche de la valeur $1/2$ à $10^{-2}$ près.

On considère un couple $(X,Y)$ de variables aléatoires de densité jointe

$$ \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, \quad f(x,y) = c xy^2 \mathbb{1}_D (x,y), $$

où $c$ est une constante positive et $D = \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2~|~0 < x < y < 1 \right\}$.

• Déterminer la valeur de $c$.

• Déterminer la fonction de répartition de la variable $Y$. Donner sa valeur au point $t = 2/3$.

• Écrire un algorithme de simulation d’un couple de densité $f(x,y)$.

• On pose $Z = X Y$. Déterminer la densité de la loi de la variable $Z$.