TD n°5

• Rappeler la définition de la loi de Poisson de paramètre $\lambda >0$.

• Rappeler l’espérance de la loi de Poisson.

• Rappeler le théorème de transfert pour une loi discrète.

• Rappeler la formule de conditionnement pour une loi discrète.

Au football, on peut normalement marquer des buts de la tête ou du pied. On suppose que le nombre de buts marqués lors d’une partie est un nombre aléatoire $K$ tiré suivant la loi de Poisson de paramètre $\lambda >0$.

La probabilité pour qu’un but soit marqué de la tête est $p$, $0 < p < 1$, et on suppose que les buts sont marqués indépendamment les uns des autres.

• Sachant que $K = k$ buts ont été marqués lors d’une partie, montrer que la probabilité conditionnelle pour que $L = \ell$ buts soient marqués de la tête est $$ {\rm P}(L = \ell | K = k ) = \left(\begin{array}{c}k\\ l\end{array}\right) p^\ell (1 - p)^{k - \ell}, \quad \ell = 0, \dots, k $$

où $\left(\begin{array}{c}k\\ l\end{array}\right) = \frac{k!}{\ell! (k - \ell)!}$

• En déduire la probabilité que l’on observe $L = \ell$ buts marqués de la tête lors d’une partie.

• Calculer l’espérance de la variable aléatoire $L$.

On suppose que le nombre moyen de but marqués par match de football est $\lambda = 2.37$. La probabilité de marquer de la tête est $p = 0.38$.

• Vérifier que la loi de $L$ correspond au modèle calculé dans la question précédente

# Il y a 760 matches dans une saison régulière de ligue 1
K <- rpois(760, lambda = 2.37)
L <- rbinom(760, K, p = 0.38)
plot(0:7, dpois(0:7, lambda = 0.38*2.37), xlab = "Buts de la tête", ylab = "Fréquence", col = "orange", lwd = 3, type = "l")
points(table(L)/sum(table(L)), type = "h", col = "blue", lwd = 3)

En fait, le modèle est imparfait et il existe une probabilité $\epsilon>0$ pour qu’un but soit marqué de la main.

• Quelle est la probabilité d’observer au moins un but marqué de la main lors d’une partie ?

Un rat se trouve dans un labyrinthe face à deux portes. Il choisit la première de ces deux portes avec probabilité $1/3$ et la deuxième porte avec probabilité $2/3$. Quand il choisit la première porte, il revient à son point de départ en une minute. Quand il choisit la deuxième porte, il effectue un trajet d’une minute jusqu’à un point intermédiaire, puis il rebrousse chemin avec la probabilité $1/2$ (le retour lui prend alors une minute) ou il sort du labyrinthe en une minute avec la probabilité $1/2$.

Tous les choix du rat se font indépendamment les uns des autres.

Soit $T$ le temps passé par le rat dans le labyrinthe. On cherche à déterminer l’espérance de $T$, puis la loi de $T$.

Soit $N$ le numéro de la porte choisie au départ du rat.

• Etablir une relation simple reliant $\mathbb{E}[T~|~N=1]$ et $\mathbb{E}[T]$.

• Etablir une relation similaire reliant $\mathbb{E}[T~|~N=2]$ et $\mathbb{E}[T]$.

• Appliquer la formule de conditionnement et en déduire la valeur de $\mathbb{E}[T]$.

On note $d$, $i$ et $s$ les points de départ, intermédiaire et de sortie du rat, et on note $X_n$ la suite aléatoire des points visités par le rat.

• Trouver la relation entre la loi de $T$ et les probabilités conditionnelles suivantes $$ p_{ds}^n = {\rm P}\left(X_n = s~|~X_0=d\right), \quad n \geq 0. $$

• Montrer par récurrence que l’on a la relation suivante $$ p_{ds}^{n+1} = \frac13 \left(p_{ds}^{n} + p_{ds}^{n-1} + 1\right). $$

• Résoudre cette équation et en déduire la loi de $T$. Retrouver l’espérance de $T$ par le calcul direct.