Espérance d'une variable aléatoire

Sommaire:

On note $\mathbb{1}_A$ la variable aléatoire égale à $1$ si $A$ se réalise, $0$ sinon.

• Par définition, nous avons $$ \mathbb{E}[\mathbb{1}_A] = {\rm P}(A) $$

Soit $\alpha_1, \dots ,\alpha_n$, $n$ coefficients positifs et $A_1, \dots , A_n$, $n$ événements. On appelle variable étagée, la variable $$ X = \sum_{i = 1}^n \alpha_i \mathbb{1}_{A_i} $$

• Par définition, nous avons $$ \mathbb{E}[X] = \sum_{i = 1}^n \alpha_i {\rm P}(A_i) $$

• Soit $X>0$ et $X_n$ une suite de variables étagées qui converge en croissant vers $X$. Par définition, nous avons $$ \mathbb{E}[X] = \lim_{n \to \infty} \mathbb{E}[X_n] $$

• Soit $X$ une variable aléatoire réelle. On dit que $X$ est intégrable si $\mathbb{E}[|X|]<\infty$. Dans ce cas, nous avons $$ \mathbb{E}[X] = \mathbb{E}[\max(0, X)] - \mathbb{E}\left[ -\min(0,X)\right] $$

Soit $B$ un événement de probabilité non-nulle. L’espérance conditionnelle de la variable $X$ sachant $B$, est l’espérance prise par rapport à la mesure de probabilité conditionnelle ${\rm P}(A~|~B)$.

• Nous avons en particulier, pour toute variable étagée $X$, $$ \mathbb{E}[X~|B] = \sum_{i = 1}^n \alpha_i {\rm P}(A_i|~B). $$

Soit $X_n$ une suite de variables positives qui converge en croissant vers $X$.

• Nous avons $$ \mathbb{E}\left[\lim_{n \to \infty} X_n\right] = \lim_{n \to \infty} \mathbb{E}[X_n] $$