TD n°10

• Rappeler la définition de l’espérance conditionnelle.

• Rappeler la formule de conditionnement pour des variables aléatoires de loi continue.

On considère une suite $(X_n)$ de variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur $(0,1)$. Soit $a$ un nombre tel que $0<a<1$. On définit la variable aléatoire $N(a)$ de sorte que $$ N(a) = \min\left{ n \geq 1 | X_1 +\cdots + X_n > a \right} $$

Soit $x\in (0,1)$.

• En discutant selon les valeurs $x>a$ ou $x\le a$, donner une expression de l’espérance conditionnelle $\mathbb{E}[N(a)|X_1=x]$ ne laissant plus apparaître le conditionnement.

• Déduire de la question précédente que, pour tout $a\in (0,1)$, nous avons $$\mathbb{E}[N(a)]=1+{\int }_0^a\mathbb{E}[N(x)]dx$$

• Résoudre l’équation précédente pour trouver l’expression de $\mathbb{E}[N(a)]$.

On considère une suite $(U_n{)}_{n\ge 1}$ de variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur $(0,1)$, et on pose $U_0=x,x\in (0,1)$. On dit qu’il y a record au temps $m$ si la variable $U_m$ est plus grande que toutes les variables précédentes. On note $N_n$ le nombre de records au temps $n\ge 1$. On pose ensuite $$\mathrm{\forall }n\ge 1,f_n(x)=\mathbb{E}[N_n]$$

• Calculer $f_1(x)$.

• Donner une formule reliant l’espérance conditionnelle $\mathbb{E}[N_{n+1}|U_1=u]$ à la fonction $f_n(x)$.

• Montrer que $$1-f_{n+1}(x)=x(1-f_n(x))-{\int }_x^1{f}_n(u)du$$

On suppose que $f_n(x)$ est dérivable et on appelle $g_n(x)$ sa dérivée.

• Trouver l’équation satisfaite par $g_n(x)$ puis la résoudre.

• En déduire que $$f_n(x)=h_n-(x+\frac{x^2}{2}+\cdots +\frac{x^n}{n})$$

où $h_n=\sum _{i=1}^n\frac{1}{i}$