Couples de variables aléatoires

Sommaire:

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires réelles.

Soit $f(x,y)$ une fonction positive dont l’intégrale sur $\mathbb{R}^2$ est égale à 1. On dit que la loi de probabilité du couple $(X,Y)$ admet $f(x,y)$ pour densité si

$$ \forall D \subset \mathbb{R}^2, \quad {\rm P}\left((X,Y) \in D\right) = \int_D f(x,y) dxdy . $$

La loi de la variable $X$ admet pour densité $$ f_X(x) = \int f(x,y) dy $$

Soit $x \in \mathbb{R}$ tel que $f_X(x) >0$. La loi conditionnelle de la variable $Y$ sachant $X = x$ admet pour densité $$ f_Y^{X=x} (y) = \frac{f(x,y)}{f_X(x)} $$

Pour simuler $(X,Y)$ de densité $f(x,y)$, la méthode de simulation consiste à revenir à la simulation de variables unidimensionnelles

• Simuler $X$ de loi de densité $f_X(x)$
• Sachant $X=x$, simuler $Y$ de loi de densité $f_Y^{X=x} (y)$