TD n°3 - partie 2

• Rappeler la définition d’une variable aléatoire de Bernoulli, d’une variable aléatoire étagée. Quelle est l’espérance de ces variables aléatoires ?

On joue à pile $(\text{P})$ ou face $(\text{F})$ avec une pièce équilibrée $n$ fois de suite. On définit $X_n$ comme le nombre de fois où l’on obtient le motif $\text{FF}$ (compté avec les recouvrements). Par exemple, dans la réalisation suivante,

$\text{FFPFPFFFPFFPF}$

nous avons $n = 13$ et $X_n = 4$. En effet, le motif $\text{FFF}$ contribue deux fois au nombre total. Pour $i = 2, \dots, n$, on note $\text{FF}_i$ l’événement “le motif $\text{FF}$ apparaît à l’issue du lancer $i$”.

• Montrer que les événements (FF$_i$) ne sont pas indépendants.

• Décrire $X_n$ comme une variable étagée.

• En déduire la valeur de l’espérance $\mathbb{E}[X_n]$.

• Justifier que la loi de $X_n$ n’est pas la loi binomiale.

Soit $(f_n)$ la suite de Fibonacci définie par $$ \begin{cases} f_n = f_{n-1} + f_{n-2} & n\geq 4\\ f_2 = 3 \\ f_3 = 5 \end{cases} $$

• En raisonnant par récurrence, démontrer que

$$ {\rm P}(X_n = 0) = \frac{f_n}{2^n},\quad n \geq 2 $$

Indication:
On appliquera la formule des probabilités totales deux fois de suite (en prenant pour mesure de référence une mesure de probabilité conditionnelle).