Loi géométrique et loi binomiale

Sommaire:

Lors d’une suite infinie d’épreuves identiques et indépendantes, on s’intéresse à l’instant, $X$, de première occurrence d’un événement de probabilité $p$.

• La loi de $X$ est décrite par $$ {\rm P}(X = i) = (1 - p)^{i - 1} p, \quad i \geq 1 $$

• Sa valeur moyenne, ou son espérance, est donnée par

$$ \mathbb{E}[X] = \sum_{i = 1}^{\infty} i~{\rm P}(X = i) = \frac 1p $$

Lors d’une suite finie comportant $n$ épreuves identiques et indépendantes, on s’intéresse au nombre d’occurrences, $N$, d’un événement de probabilité $p$.

• La loi de $N$ est décrite par

$$ {\rm P}(N = i) = \left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right) p^i (1 - p)^{n-i}, \quad i = 1 , \dots, n $$ où $\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right) = \frac{n!}{i! (n-i)!}$

• Sa valeur moyenne, ou son espérance, est donnée par

$$ \mathbb{E}[N] = \sum_{i = 1}^{n} i~{\rm P}(N = i) = n p $$