Variables aléatoires de loi discrète

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Une variable aléatoire de loi discrète est une variable aléatoire à valeurs dans un ensemble fini ou dénombrable, typiquement tout ou une partie de l’ensemble des entiers naturels, $\mathbb{N}$.

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}$. La loi de $X$ est caractérisée par la donnée $$ {\rm P}(X = n) = p_n, \quad n \geq 0 $$

Soit $\lambda >0$. La loi de Poisson est caractérisée par $$ {\rm P}(X = n) = \frac{\lambda^n}{n!} e^{-\lambda}, \quad n \geq 0. $$

Nous avons $$ \mathbb{E}[X] = \lambda $$

Soit $\varphi$ une application (mesurable) de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$ telle que $\mathbb{E}\left[|\varphi(X)|\right] < \infty$.

• Le théorème de transfert s’énonce ainsi $$ \mathbb{E}[\varphi(X)] = \sum_{n=0}^{\infty} \varphi(n)~p_n $$

• En particulier, nous avons $$ \mathbb{E}[X] = \sum_{n=0}^{\infty} n~p_n $$

De plus, nous avons $$ \mathbb{E}[X] = \sum_{n=0}^{\infty} {\rm P}(X > n) $$

Soit $X$ une variable aléatoire discrète et $Y$ une seconde variable aléatoire discrète. Pour tout entier naturel $k$ tel que P$(X=k)>0$, l’espérance conditionnelle ${\rm E}[Y~|X = k]$ est définie comme étant l’espérance calculée par rapport à la mesure de probabilité ${\rm P}(\mathord{\cdot}~|~X=k)$.

• La formule de conditionnement s’obtient comme application du théorème de transfert : $$ \mathbb{E}[Y] = \mathbb{E}[ \mathbb{E}[Y~|X]] = \sum_{k=0}^{\infty} {\rm E}[Y|X = k]{\rm P}(X = k) $$