Variables aléatoires de loi continue (et autres lois)

Sommaire:

La loi de probabilité d’une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{R}$ est caractérisée par la fonction de répartition $$ F(t) = {\rm P}(X \leq t), \quad t \in \mathbb{R} $$

La fonction de répartition est croissante de 0 à 1. On dit que la loi est continue si la fonction de répartition est continue sur $\mathbb{R}$.

On dit que la loi de la variable aléatoire $X$ admet la densité $f$ si $f$ est une fonction positive d’intégrale totale égale à 1 et telle que: $$ \forall t \in \mathbb{R}, \quad F(t) = \int_{-\infty}^t f(x) dx $$

Soit $X$ est une variable aléatoire de loi de densité $f$, telle que la variable $Z = \varphi(X)$ est positive ou intégrable.

• Théorème de transfert $$ \mathbb{E}[Z] = \mathbb{E}[\varphi(X)] = \int_{\mathbb{R}} \varphi(x) f(x) dx $$

• Supposons $X$ positive ou intégrable, nous avons $$ \mathbb{E}[X] = \int_{\mathbb{R}} x f(x) dx $$

• Si $X$ est positive, nous avons $$ \mathbb{E}[X] = \int_0^{\infty} {\rm P}(X > t) dt $$

La loi normale $\mathcal{N}(0,1)$ admet pour densité $$ \forall x \in \mathbb{R}, \quad f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(- \frac{x^2}{2}\right) $$

La loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$ admet pour densité $$ \forall x \in \mathbb{R}, \quad f(x) = \lambda e^{- \lambda x} \mathbb{1}_{\mathbb{R_+}}(x) $$