TD n°7

• Rappeler la définition de la variance d’une variable aléatoire.

• Rappeler la définition de la loi normale.

On souhaite calculer la variance de la loi normale, $\mathcal{N}(0,1)$, et d’autres moments d’ordre supérieur.

Soit $X$ une variable aléatoire de loi $\mathcal{N}(0,1)$.

• À l’aide du théorème de transfert, montrer que la fonction génératrice des moments $\phi(t) = \mathbb{E}[e^{tX}]$ est égale à $$ \phi(t) = \exp\left(\frac{t^2}2\right), \quad t \in \mathbb{R}. $$

• Dériver la fonction $\phi(t)$ deux fois en $t = 0$. En déduire la variance de la loi normale $$ {\rm Var}[X] = 1 $$

• Utiliser le développement en série de la fonction $\phi(t)$ en $t = 0$ pour calculer $\mathbb{E}\left[X^4\right]$.

• Vérifier ce résultat à l’aide de simulations.

x <- rnorm(1000000)
mean(x^4)

Soient $U$ et $V$ deux variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur $(0,1)$. On pose

$$ X = \mathbb{1}_{(U < 1/3)} V + \mathbb{1}_{(U \geq 2/3)} (1 + V) $$

• Calculer $\mathbb{E}[X]$ et $\text{Var}[X]$.

• Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire $X$.

• Prouver que les commandes suivantes simulent correctement la loi de $X$.

n <- 100000
N <- sample(1:3, n, replace = T)
x <- (N == 3) + (N != 1)*runif(n)

• Vérifier les calculs de l’espérance et de la variance.

mean(x)
var(x)

Soit $U$ une variable aléatoire de loi uniforme sur $(0,1)$. On pose $X = e^U$.

• Montrer que la fonction de répartition de la variable aléatoire $X$ vérifie $$ \forall t \in (1, e), \quad F(t) = \ln(t) $$

• Décrire cette fonction pour tout $t \in \mathbb{R}$.

• Montrer que la loi de la variable $X$ admet une densité et donner la densité de cette loi.

• Calculer l’espérance et la variance de la variable aléatoire $X$.

Soit $s \in \mathbb{R}$, on pose $$ \phi(s) = \mathbb{E}\left[e^{s U}\right] $$

• Calculer $\phi(s)$, puis calculer la dérivée de cette fonction au point $s = \alpha$, $\alpha >0$.

• Déduire de la question précédente la valeur de l’espérance de la variable aléatoire suivante $$ Y = X^{\alpha} \ln(X) $$

On considère une variable aléatoire de loi de densité $$ \forall z \in \mathbb{R}, \quad f(z) = z \mathbb{1}_{(0,1)}(z) + \frac12 e^{1-z} \mathbb{1}_{(1,\infty)}(z) $$

• Montrer que la fonction de répartition de la loi de densité $f(z)$ vérifie $$ \forall t \geq 0, \quad F(t) = \frac12 \min(1,t^2) + \frac12 \max(0, 1 - e^{1 - t}) $$

• Soit $X$ une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre 1. Déterminer la fonction de répartition, $F_1(t)$, de la variable aléatoire $Y_1 = \exp(-X/2)$.

• Montrer qu’il existe $p\in (0,1)$ tel que

$$ \forall t \in \mathbb{R}, \quad F(t) = pF_1(t) + (1 -p)F_2(t) $$

où $F_2(t)$ est la fonction de répartition de la variable aléatoire $Y_2 = 1 + X$.

Soit $p$ la valeur trouvée précédemment. On considère la variable aléatoire $Y$ définie par $$ Y = V\sqrt{U} + (1 - V)(1+X) $$

où $U$ est une variable aléatoire de loi uniforme sur (0,1), $V$ est une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre $p$ et $U, V, X$ sont mutuellement indépendantes.

• Calculer l’espérance des variables aléatoires $Y$ et $Y^2$.

• Calculer la fonction de répartition de la variable aléatoire $Y$.

On dispose d’un générateur aléatoire retournant uniquement des variables aléatoires indépendantes de loi exponentielle de paramètre 1.

• Déduire des questions précédentes un algorithme de simulation de la loi de densité $f(z)$.

On notera rexp(n,rate = 1) le générateur aléatoire de loi exponentielle.