TD n°7
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Rappeler la définition de la variance d’une variable aléatoire.
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Rappeler la définition de la loi normale.
On souhaite calculer la variance de la loi normale, $\mathcal{N}(0,1)$, et d’autres moments d’ordre supérieur.
Soit $X$ une variable aléatoire de loi $\mathcal{N}(0,1)$.
- À l’aide du théorème de transfert, montrer que la fonction génératrice des moments $\phi(t) = \mathbb{E}[e^{tX}]$ est égale à $$ \phi(t) = \exp\left(\frac{t^2}2\right), \quad t \in \mathbb{R}. $$
- Dériver la fonction $\phi(t)$ deux fois en $t = 0$. En déduire la variance de la loi normale $$ {\rm Var}[X] = 1 $$
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Utiliser le développement en série de la fonction $\phi(t)$ en $t = 0$ pour calculer $\mathbb{E}\left[X^4\right]$.
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Vérifier ce résultat à l’aide de simulations.
x <- rnorm(1000000)
mean(x^4)
Soient $U$ et $V$ deux variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur $(0,1)$. On pose
$$ X = \mathbb{1}_{(U < 1/3)} V + \mathbb{1}_{(U \geq 2/3)} (1 + V) $$
- Calculer $\mathbb{E}[X]$ et $\text{Var}[X]$.
- Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire $X$.
- Prouver que les commandes suivantes simulent correctement la loi de $X$.
n <- 100000
N <- sample(1:3, n, replace = T)
x <- (N == 3) + (N != 1)*runif(n)
- Vérifier les calculs de l’espérance et de la variance.
mean(x)
var(x)
Soit $U$ une variable aléatoire de loi uniforme sur $(0,1)$. On pose $X = e^U$.
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Montrer que la fonction de répartition de la variable aléatoire $X$ vérifie $$ \forall t \in (1, e), \quad F(t) = \ln(t) $$
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Décrire cette fonction pour tout $t \in \mathbb{R}$.
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Montrer que la loi de la variable $X$ admet une densité et donner la densité de cette loi.
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Calculer l’espérance et la variance de la variable aléatoire $X$.
Soit $s \in \mathbb{R}$, on pose $$ \phi(s) = \mathbb{E}\left[e^{s U}\right] $$
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Calculer $\phi(s)$, puis calculer la dérivée de cette fonction au point $s = \alpha$, $\alpha >0$.
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Déduire de la question précédente la valeur de l’espérance de la variable aléatoire suivante $$ Y = X^{\alpha} \ln(X) $$
On considère une variable aléatoire de loi de densité $$ \forall z \in \mathbb{R}, \quad f(z) = z \mathbb{1}_{(0,1)}(z) + \frac12 e^{1-z} \mathbb{1}_{(1,\infty)}(z) $$
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Montrer que la fonction de répartition de la loi de densité $f(z)$ vérifie $$ \forall t \geq 0, \quad F(t) = \frac12 \min(1,t^2) + \frac12 \max(0, 1 - e^{1 - t}) $$
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Soit $X$ une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre 1. Déterminer la fonction de répartition, $F_1(t)$, de la variable aléatoire $Y_1 = \exp(-X/2)$.
- Montrer qu’il existe $p\in (0,1)$ tel que
$$ \forall t \in \mathbb{R}, \quad F(t) = pF_1(t) + (1 -p)F_2(t) $$
où $F_2(t)$ est la fonction de répartition de la variable aléatoire $Y_2 = 1 + X$.
Soit $p$ la valeur trouvée précédemment. On considère la variable aléatoire $Y$ définie par $$ Y = V\sqrt{U} + (1 - V)(1+X) $$
où $U$ est une variable aléatoire de loi uniforme sur (0,1), $V$ est une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre $p$ et $U, V, X$ sont mutuellement indépendantes.
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Calculer l’espérance des variables aléatoires $Y$ et $Y^2$.
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Calculer la fonction de répartition de la variable aléatoire $Y$.
On dispose d’un générateur aléatoire retournant uniquement des variables aléatoires indépendantes de loi exponentielle de paramètre 1.
- Déduire des questions précédentes un algorithme de simulation de la loi de densité $f(z)$.
On notera rexp(n,rate = 1) le générateur aléatoire de loi exponentielle.