TD n°8

• Rappeler le principe d’une méthode de Monte-Carlo.

Soient $(U_n)$ et $(V_n)$ deux suites de variables aléatoires de loi uniforme sur l’intervalle $[0,1]$. On suppose que ces variables aléatoires sont indépendantes dans leur ensemble. On pose

$$ \forall n \geq 1, \quad \left\{ \begin{array}{ccl} X_n & = & 1 \quad \text{si } U_n^2 + V_n^2 \leq 1 \\ & & 0 \quad \mbox{sinon} \end{array} \right. $$

et $Z_n = 4 ( X_1 + \dots + X_n )/ n$.

n <- 1000
u <- runif(n)
v <- runif(n)
plot(u, v, col = 1 +  (u^2 + v^2 > 1), pch = 19)

• Déterminer la loi de la variable $X_n$.

• Calculer la variance de $Z_n$ et montrer que la suite $(Z_n)$ converge vers $\pi$.

Soit $\alpha \in (0,1)$ et $\epsilon >0$.

• A l’aide de l’inégalité de Chebishev, déterminer un entier $n_0$ tel que

$$ \forall n \geq n_0, \quad \mbox{P}(|Z_n - \pi| > \epsilon) \leq \alpha $$

• Ecrire un algorithme qui retourne une valeur approchée de $\pi$ à $10^{-4}$ près, avec une probabilité supérieure à $0.95$.

n <- 100000 #n'est pas la valeur demandée
u <- runif(n)
v <- runif(n)
4*mean(u^2 + v^2 < 1)

On multiplie la variable $Z_n$ par $\sqrt{n}$.

• Calculer la variance de la variable $\sqrt{n}(Z_n - \pi)$. Cette variance converge-t-elle vers 0 ? Vers une constante ?

• Quelle loi connue fournit une bonne approximation de la loi de $\sqrt{n} (Z_n - \pi)$ ?

rzn <- function(m=1,n=1000){
  zn <- NULL
  for (i in 1:m){
    u <- runif(n)
    v <- runif(n)
    zn <- c(zn, 4*mean(u^2 + v^2 < 1) )
  }
  return(zn)
}
z  <- sqrt(1000)*(rzn(10000) - pi)/sqrt(pi*(4-pi))
hist(z, prob = TRUE, col = "orange")

On considère une suite $(U_n)$ de variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur $(0,1)$ et la fonction $$ \forall u \in (0,1), \quad \varphi (u) = \sqrt{(1 - u) u^3} $$

Pour tout $n\geq 1$, on pose $$ Y_n = \frac1n \sum_{i = 1}^n \varphi (U_i) $$

• Montrer que la suite $Y_n$ converge, au sens de la loi des grands nombres, vers la limite $\mathcal{I}$ définie ci-dessous

$$ \mathcal{I} = \int_0^1 \varphi(u) du $$

On admettra que $\mathcal{I} = \frac{\pi}{16}$.

• Calculer la variance de la variable aléatoire $Y_n$.

• Soit $\epsilon = 10^{-3}$. A l’aide du théorème de Chebyshev, donner une estimation du rang $n$ à partir duquel on peut considérer que $$ {\rm P}(| Y_n - \mathcal{I}| < \epsilon) \geq 0.95 $$

On considère la loi de densité $f$ définie sur l’intervalle $(0,1)$ de la manière suivante $$ \forall v \in (0,1), \quad f(v) = 6v(1 - v) $$

Soit $(V_n)$ une suite de variables aléatoires indépendantes, de loi de densité $f$. Pour tout $n \geq 1$, on pose $$ Z_n = \frac1n \sum_{i = 1}^n \frac{\varphi (V_i)}{f(V_i)}. $$

• Montrer que la suite $Z_n$ converge vers $\mathcal{I}$.

• Comparer la variance de la variable aléatoire $Z_n$ à celle de la variable $Y_n$.

• Proposer deux algorithmes de calcul de l’intégrale $\mathcal{I}$ s’appuyant sur les questions précédentes.

• Lequel vous semble le plus précis des deux pour $n$ appels du générateur aléatoire ? Justifier.

phi <- function(u){ sqrt((1-u)*u^3)}

# Algorithme 1
n <- 1000000
mean(y <- phi(runif(n)))
pi/16
var(y)

# Algorithme 2
n <- 1000000
f <- function(v){dbeta(v,2,2)}
u <- rbeta(n, 2, 2)
mean(z <- phi(u)/f(u))
pi/16
var(z)

Soit $1\leq \alpha \leq 3$. On considère désormais que $f$ appartient à la famille de densités $f_{\alpha}$ définies sur l’intervalle $(0,1)$ de la manière suivante $$ \forall v \in (0,1), \quad f_{\alpha}(v) = c_{\alpha} v^{\alpha} (1 - v) $$ Loi $\text{beta}(\alpha+1,~2)$

• Montrer (ou admettre) que la constante $c_{\alpha}$ est égale à $(\alpha + 2)(\alpha +1)$.

• A quel choix de $\alpha$ correspond l’algorithme de calcul de $\mathcal{I}$ le plus précis ?

• La précision est-elle supérieure à celle de l’algorithme s’appuyant sur la question 1 ?