TD n°3 - partie 1

Soit deux entiers $(m, n)$ tels que $2 \leq 2m \leq n$. On lance un dé à $2m$ faces, puis un dé à $n$ faces. On note $M$ et $N$ les numéros du premier et du second dé respectivement.

• Calculer la probabilité de l’événement $( \max \{ M, N \} \leq m )$.

• Calculer la probabilité de l’événement $(M + N \leq m)$.

Erwin a un chat probabiliste. On suppose que le chat d’Erwin prend une et une seule décision par jour parmi les 4 possibilités suivantes: rester à l’intérieur de la maison, sortir à l’extérieur, rester à l’extérieur, rentrer à l’intérieur.

La décision quotidienne est prise à minuit (0h00). Lorsqu’il se trouve à l’intérieur, le chat d’Erwin sort avec la probabilité $p$. Lorsqu’il se trouve dehors, il rentre avec la probabilité $q$ ($0<p,q<1$). Le 31 décembre 2015, considéré comme le jour zéro de l’année 2016, Erwin et son chat sont à l’intérieur de la maison.

On note $\pi_n$ la probabilité pour que le chat soit dehors le soir $n$, $n \geq 0$.

• Établir la relation suivante $$ \forall n \geq 1, \quad \pi_n = (1 - p - q) \pi_{n-1} + p $$

• Calculer $\pi_n$, ainsi que la limite de cette probabilité lorsque $n$ tend vers l’infini.