Espérance conditionnelle (v.a continue)

Sommaire:

Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires réelles de densité $f(x,y)$.

L’espérance conditionnelle de $Y$ sachant $X=x$ est l’espérance de la loi de densité $f_Y^{X=x} (y)$. Elle définit une fonction de la variable $x$ $$ \mathbb{E}[Y~|~X=x] = \varphi(x) = \int y f_Y^{X=x}(y) dy. $$

L’espérance conditionnelle de Y sachant $X$ est la variable aléatoire $$ \mathbb{E}[Y~|~X] = \varphi(X) $$

Nous avons $$ \mathbb{E}[Y] = \mathbb{E}\left[\mathbb{E}[Y~|X]\right] = \int \mathbb{E}[Y|~X=x] f_X(x) dx . $$