TD n°4

script R: td_4.R

• Rappeler la définition d’une variable aléatoire étagée.

• Rappeler la définition d’une variable aléatoire de carré intégrable et de la variance d’une telle variable aléatoire.

On considère $K$ intervalles ouverts $(I_k)_{k=1,\dots,K}$ inclus dans l’ensemble $(0,1)$, susceptibles de se recouvrir de manière arbitraire. Pour tout $k=1,\dots,K$, on note $\ell_k$ la longueur de l’intervalle $I_k$.

Soit $U$ un point de l’intervalle $(0,1)$ tiré au hasard suivant la loi uniforme et $N$ le nombre d’intervalles contenant le point $U$.

On suppose dans les premières questions que $K=10$ et que $\ell_k = 1/10$ pour tout $k=1,\dots,10$.

• Donner une représentation graphique des $10$ intervalles, ainsi qu’une réalisation de la variable $U$ et de la variable $N$ correspondante.

• Représenter 2 situations extrêmes dans lesquelles les 10 intervalles sont soit d’intersection vide, soit d’intersection complète. Dans chacun des 2 cas, décrire la loi de la variable $N$. Donner son espérance et sa variance.

Montrer que l’on peut écrire $N$ comme une variable étagée $$ N = \sum_{k = 1}^K \mathbb{1}_{A_k} $$ où l’on précisera la définition des événements $(A_k)$ intervenant dans la somme.

• La loi de la variable $N$ est-elle une loi binomiale ?

• Calculer l’espérance de la variable $N$.

• Montrer que la variance de la variable $N$ correspond au double de la somme des longueurs des intersections entre paire d’intervalles

$$ {\rm Var}[N] = 2\sum_{j<k} \text{longueur}(I_j \cap I_k). $$

• En déduire que $\text{Var}[N] \leq 9$ et que la borne est optimale (elle est atteinte pour une configuration particulière des 10 intervalles).

On suppose maintenant que $K$ est quelconque et que les longueurs $\ell_k$ sont identiques.

• Calculer $\mathbb{E}[N]$ et donner une borne supérieure optimale pour la variance de $N$.

• Généraliser l’exercice à la dimension 2, où l’intervalle $(0,1)$ est remplacé par le disque unité, et les intervalles $(I_k)$ sont remplacés par des disques de rayons $(r_k)$.